基本奇异信号

单位斜变信号

R(t)={0,t<0t,t≥0R(t)=\begin{cases}0,&t<0\\t,&t\geq 0\end{cases}

事实上，这就是机器学习中的激活函数ReLU

截顶的单位斜变信号

Rτ(t)={0,t<0t,0≤t<ττ,t≥τR_\tau(t)=\begin{cases}0,&t<0\\t,&0\leq t<\tau\\\tau,&t\geq\tau\end{cases}

单位阶跃信号

u(t)={0,t<01,t≥0u(t)=\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}

事实上，R(t)R(t)是u(t)u(t)是积分

单位矩形脉冲信号

Gτ(t)={1,∣t∣≤τ/20,∣t∣>τ/2G_\tau(t)=\begin{cases}1, &|t|\leq \tau/2\\0,&|t|>\tau/2\end{cases}

这里的τ\tau称为脉宽

不考虑临界点取值时，Gτ(t)=u(t+τ/2)−u(t−τ/2)G_\tau (t)=u(t+\tau/2)-u(t-\tau/2)

符号函数信号

sgn(t)={1,t≥0−1,t<0{\rm sgn}(t)=\begin{cases}1,&t\geq 0\\-1,&t<0\end{cases}

事实上，sgn(t)=2u(t)−1{\rm sgn}(t)=2u(t)-1

单位冲激信号：使用狄拉克定义式

{∫−∞+∞δ(t)dt=1δ(t)=0,t≠0\begin{cases}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t){\rm d}t=1\\\delta(t)=0,& t\neq 0\end{cases}

使用向上的箭头，箭头旁括注积分值来表示

极限表示：δ(t)=lim⁡τ→0Gτ(t)τ\delta(t)=\lim\limits_{\tau\to0}\frac{G_\tau(t)}{\tau}

扩展函数：δE,t0(t)=Eδ(t−t0)\delta_{E,t_0}(t)=E\delta(t-t_0)

在滤波器部分中，离散的冲激信号使用：

δ(n)={1,n=00,n≠0\delta(n)=\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq0\end{cases}

单位冲激信号的卷积搬移特性：

f(t)∗δ(t−t0)=f(t−t0)f(t)*\delta(t-t_0)=f(t-t_0)

单位冲激信号的积分采样特性：

∫−∞+∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0){\rm d}t=f(t_0)

需要特别注意的是冲激信号的压扩：

δ(at)=1∣a∣δ(t)\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)

这是从狄拉克定义式中的积分表示得到的，也可以直观理解为：δ(t)\delta(t)是一个时间无限短的矩形脉冲的极限值，压扩会改变矩形脉冲的能量，也理应改变δ(t)\delta(t)的能量

Z变换中的重要奇异信号

使用IZT求解系统序列的时候，最重要的就是如下奇异序列：

p(n)=αnu(n)={αn,n≥00,n<0p(n)=\alpha^nu(n)=\begin{cases}\alpha^n,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}

和

q(n)=−αnu(−n−1)={0,n≥0−αn,n<0q(n)=-\alpha^nu(-n-1)=\begin{cases}0,&n\geq 0\\-\alpha^n,&n<0\end{cases}

二者的ZT可以计算如下：

P(z)=∑n=0+∞αnz−n=11−αz−1P(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\alpha^nz^{-n}=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}}

Q(z)=∑n=1+∞−α−nzn=−α−1z1−α−1z=11−αz−1Q(z)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}-\alpha^{-n}z^n=-\frac{\alpha^{-1}z}{1-\alpha^{-1}z}=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}}

即上述两个序列的ZT相同，事实上，它们分别是复变函数

H(z)=11−αz−1H(z)=\frac{1}{1-\alpha z^{-1}}

在收敛域0≤∣z∣<∣α∣0\leq |z|<|\alpha|和∣α∣<∣z∣≤+∞|\alpha|<|z|\leq +\infty上的序列

零点分段法，我从小用到大（什么

当复变函数有多个极点时，IZT的序列需要按照极点的绝对值大小分类讨论，在每个收敛圆环上有不同的结果。举例如下：

H(z)=0.81+1.2z−1+0.21−0.3z−1H(z)=\frac{0.8}{1+1.2z^{-1}}+\frac{0.2}{1-0.3z^{-1}}

它有两个极点z=−1.2z=-1.2和z=0.3z=0.3，于是收敛域需要分三类讨论

Case1： 0≤∣z∣<0.30\leq |z|<0.3

h(n)={−0.8(−1.2)n−0.2(0.3)n,n<00,n≥0h(n)=\begin{cases} -0.8(-1.2)^n-0.2(0.3)^n,&n<0\\ 0,&n\geq 0 \end{cases}

Case2： 0.3<∣z∣<1.20.3<|z|<1.2

h(n)={−0.8(−1.2)n,n<00.2(0.3)n,n≥0h(n)=\begin{cases} -0.8(-1.2)^n,&n<0\\ 0.2(0.3)^n,&n\geq0 \end{cases}

Case3： 1.2<∣z∣≤+∞1.2<|z|\leq +\infty

h(n)={0,n<00.8(−1.2)n+0.2(0.3)n,n≥0h(n)=\begin{cases}0,&n<0\\ 0.8(-1.2)^n+0.2(0.3)^n,&n\geq0\end{cases}

其中Case3是因果序列，Case2是稳定系统