基础：函数正交分解的性质

以下列举的性质是贯穿FT始终的，可能在离散化中会改变形态，但都会存在某种正确的形式

Parseval定理

设 $f(t)$ 的某个正交分解为

f(t)=\sum\limits_{k}c_k\phi_k(t)

其中 $\phi_k(t)$ 的能量为

E_k=\langle \phi_k,\phi_k \rangle

则

E[f(t)]=\langle f,f\rangle =\int_{t_1}^{t_2}||f(t)||^2{\rm d}t=\sum\limits_{k}||c_k||^2 E_k

这实际上是能量守恒在信号正交分解中的体现，这个等式成立的关键来自于基函数的正交性

线性

函数内积是双线性的，因此函数分解的过程（本质是与基函数内积）是线性的

这一性质继承到了FS和所有FT

各类FT的性质

以下讨论基于复指数形式的Fourier系列变换，暂不考虑三角形式

奇偶性

实偶对称的信号：与奇函数 $\sin \omega t$ 内积为零，于是与 $e^{-j\omega t}$ 求和积分退化为与 $\cos \omega t$ 求和积分，而 $\cos \omega t$ 对 $\omega$ 是偶函数，故信号的FT（或FS等）是实偶对称的
实奇对称的信号：与上述同理，退化为与 $-j\sin\omega t$ 求和积分，信号的FT等是纯虚奇对称的
任意实信号：频谱实部 $R(\omega)$ 偶对称，虚部 $X(\omega)$ 奇对称，相位 $\arctan\frac{X(\omega)}{R(\omega)}$ 奇对称

Parseval定理

各类FT的Parseval定理往往以功率的形式描述

周期信号的FS：

能量形式为

\int_{0}^{T_1}||f(t)||^2{\rm d}t=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}||F_n||^2E_n=T_1\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}||F_n||^2

写成功率形式

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}||F_n||^2=\frac{1}{T_1}\int_{0}^{T_1}||f(t)||^2{\rm d}t

注意到右侧是 $f(t)$ 的功率，左侧是 $f(t)$ 的每个成分（作为功率 $1$ 的信号）的系数模平方和

唯一性、可逆性

FT：可逆，相等函数的FT或IFT也相等

反褶和共轭

令 $u=-t$ ，由于

f(-t)e^{-j\omega t}=f(u)e^{-j(-\omega)u}

因此

f(-t)\Leftrightarrow F(-\omega)

由于

f^*(t)e^{-j\omega t}=\big[{f(t)}e^{-j\omega(-t)}\big]^*

因此

f^*(t)\Leftrightarrow F^*(-\omega)

这些性质对所有FT都成立

表格总结

性质	FT	DTFT	DFT
正变换	$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}{\rm d}t$	$X(\omega)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-jn\omega}$	$X(k)=\sum\limits_{n=0}^{L-1}x(n)W_N^{nk}$
逆变换	$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}{\rm d}\omega$	$x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{jn\omega}{\rm d}\omega$	$x(n)=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk}$
可逆性	无条件可逆	求逆得到带限的结果	求逆得到回绕的结果
反褶	$f(-t)\Leftrightarrow F(-\omega)$	$x(-n)\Leftrightarrow X(-\omega)$	$x(-n)\Leftrightarrow X(-k)$
共轭	$f^(t)\Leftrightarrow F^(-\omega)$	$x^(n)\Leftrightarrow X^(-\omega)$	$x^(n)\Leftrightarrow X^(-k)$
对偶	$F(t)\Leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$	无法定义	$X(n)\Leftrightarrow Nx(-k)$ （ $N=L$ ，右端回绕）
压扩	$f(at)\Leftrightarrow\frac{1}{\|a\|}F(\frac\omega{a})$	扩展容易，压缩复杂	/
时移	$f(t-t_0)\Leftrightarrow e^{-j\omega t_0}F(\omega)$	$x(n-n_0)\Leftrightarrow e^{-j\omega n_0}X(\omega)$	$x(n-m)\Leftrightarrow W_N^{mk}X(k)$
频移	$f(t)e^{j\omega_0t}\Leftrightarrow F(\omega-\omega_0)$	$x(n)e^{j\omega_0n}\Leftrightarrow X(\omega-\omega_0)$	$x(n)W_N^{-nl}\Leftrightarrow X(k-l)$
时卷	$f_1(t)*f_2(t)\Leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega)$	$x_1(n)*x_2(n)\Leftrightarrow X_1(\omega)X_2(\omega)$	$x_1(n)*x_2(n)\Leftrightarrow X_1(k)X_2(k)$
频卷	$f_1(t)f_2(t)\Leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)$	$x_1(n)x_2(n)\Leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X_1(\omega)\otimes X_2(\omega)$	$x_1(n)x_2(n)\Leftrightarrow \frac{1}{N}X_1(k)\otimes X_2(k)$
Parseval定理	$\int_{-\infty}^{+\infty}\|f(t)\|^2{\rm d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\|F(\omega)\|^2{\rm d}\omega$	$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\|x(n)\|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\|X(\omega)\|^2{\rm d}\omega$	$\sum\limits_{n=0}^{N-1}\|x(n)\|^2=\frac1{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}\|X(k)\|^2$

产生上述性质不同的根本原因是以下的参数不同：

参数	FT	DTFT	DFT
时域取值范围	$\R$	$\Z$	$\{0,1,\cdots,L-1\}$ （非零区间）
频域取值范围	$\R$	$[-\pi,\pi]$ （一个周期）	$\{0,1,\cdots,N-1\}$ （一个周期）

各类FT的互相转换

非周期信号的FT与周期延拓后的FS

设非周期信号 $f(t)$ 的FT为 $F(\omega)$ ，其以 $T_1$ 为周期延拓后得到周期信号 $\hat f(t)$ ，FS系数为 $\hat F_n$ ，则

\hat F_n=\frac{1}{T_1}F(\omega)

这是因为，FS系数表示频谱这一点的功率（量纲1），而FT值表示频谱这一点的功率密度（量纲1/Hz=s），因此FT到FS需要除以信号周期 $T_1$

周期信号的FS与FT

设周期信号 $f(t)$ 的FS系数为 $F_n$ ，FT为 $F(\omega)$ ，则

F(\omega)=2\pi\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}F_n\delta(\omega-n\omega_1)

可以认为 $F(\omega)$ 天然比 $F_n$ 多一个 $2\pi$ （这就是IFT中位于分母上的 $2\pi$ ），因此这里需要在右侧补上 $2\pi$

FT与采样后的FT

设信号 $f(t)$ 的FT为 $F(\omega)$ ，以 $T_s$ 为周期采样，得到 $\hat f(t)$ ，则

\hat F(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}F(\omega-n\omega_s)

DFT估算FT

F(\omega_k)=T_sX(k)

IDFT估算IFT

f(nT_s)=\frac{1}{T_s}{\rm IDFT}[F(\omega_k)]

DFT计算FS

F_k=\frac{1}{N}X(k)