各种卷积的定义

连续时间信号的线卷积

f(t)∗g(t)=∫−∞+∞f(t−τ)g(τ)dτ=∫−∞+∞f(τ)g(t−τ)dτf(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-\tau)g(\tau){\rm d}\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau){\rm d}\tau

连续时间信号的圆卷积

f(t)⊗g(t)=∫0Tf(t−τ)g(τ)dτ=∫0Tf(τ)g(t−τ)dτf(t)\otimes g(t)=\int_{0}^{T}f(t-\tau)g(\tau){\rm d}\tau=\int_{0}^{T}f(\tau)g(t-\tau){\rm d}\tau

离散时间信号的线卷积

f(n)∗g(n)=∑k=−∞+∞f(n−k)g(k)=∑k=−∞+∞f(k)g(n−k)f(n)*g(n)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}f(n-k)g(k)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}f(k)g(n-k)

离散时间信号的圆卷积

f(n)⊗g(n)=∑k=0N−1f(n−k)g(k)=∑k=0N−1f(k)g(n−k)f(n)\otimes g(n)=\sum\limits_{k=0}^{N-1}f(n-k)g(k)=\sum\limits_{k=0}^{N-1}f(k)g(n-k)

简单来说就是：

  • 连续时间信号使用积分
  • 离散时间信号使用求和
  • 线卷积的积分限/求和限是完整定义域
  • 圆卷积的积分限/求和限是定义域的一个周期
  • 圆卷积是一种针对周期信号的特色产物，如果要对于非周期信号计算需要首先进行回绕

个人注

其实相比常见的卷积记号f(t)∗g(t)f(t)*g(t)，我更倾向于使用[f∗g](t)[f*g](t)或(f∗g)(t)(f*g)(t)，因为卷积本质上是函数之间的运算，而不是函数值之间的运算，后者更能体现出运算的先后顺序是先进行函数间的卷积，再对参数tt代入求值

然而，在这份笔记中还是遵从最常见的记号

卷积的性质

以下性质对上述所有卷积均成立：

  • 交换律：f1∗f2=f2∗f1f_1*f_2=f_2*f_1
  • 分配律：f1∗(f2+f3)=f1∗f2+f1∗f3f_1*(f_2+f_3)=f_1*f_2+f_1*f_3
  • 结合律：(f1∗f2)∗f3=f1∗(f2∗f3)(f_1*f_2)*f_3=f_1*(f_2*f_3)
  • 微分：ddt[f1∗f2]=f1∗ddtf2=ddtf1∗f2\frac{\rm d}{\mathrm{d} t}[f_1*f_2]=f_1*\frac{\rm d}{\mathrm{d} t}f_2=\frac{\rm d}{\mathrm{d} t}f_1*f_2
    • 仅适用连续时间信号，离散时间信号也可将微分换为差分来得到类似的结果
  • 积分：(∫−∞tdt)(f1∗f2)=f1∗(∫−∞tf2dt)=(∫−∞tf1dt)∗f2(\int_{-\infty}^t{\rm d}t)(f_1*f_2)=f_1*(\int_{-\infty}^tf_2{\rm d}t)=(\int_{-\infty}^tf_1{\rm d}t)*f_2
  • 高阶微积分：(f1∗f2)(n)=f1(m)∗f2(n−m)(f_1*f_2)^{(n)}=f_1^{(m)}*f_2^{(n-m)}
    • 负数次求导表示积分