有许多函数，在我们计算其FT时会遇到诸如

lim⁡t→+∞e−jωt\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-j\omega t}

一类的不可计算极限

有些类似的不可计算极限可以使用符号函数的FT来计算。下面对其进行介绍

符号函数的FT推导

符号函数定义为

sgn(t)={1,t≥0−1,t<0{\rm sgn}(t)=\begin{cases}1,&t\geq0\\-1,&t<0\end{cases}

直接计算FT，则会出现：

F(ω)=∫0+∞e−jωtdt−∫−∞0e−jωtdtF(\omega)=\int_{0}^{+\infty}e^{-j\omega t}{\rm d}t-\int_{-\infty}^{0}e^{-j\omega t}{\rm d}t

两个积分不可计算

使用如下近似：

fα(t)={e−αt,t≥0−eαt,t<0α>0f_\alpha(t)=\begin{cases}e^{-\alpha t},&t\geq 0\\-e^{\alpha t},&t<0\end{cases}\qquad \alpha>0

则

lim⁡α→0+fα(t)=sgn(t)\lim_{\alpha\to0^+}f_{\alpha}(t)={\rm sgn}(t)

计算fα(t)f_\alpha(t)的FT：

Fα(ω)=∫0+∞e(−α−jω)tdt−∫−∞0e(α−jω)tdtF_{\alpha}(\omega)=\int_{0}^{+\infty}e^{(-\alpha-j\omega)t}{\rm d}t-\int_{-\infty}^{0}e^{(\alpha-j\omega)t}{\rm d}t

=1−α−jωe(−α−jω)t∣0+∞−1α−jωe(α−jω)t∣−∞0=\frac{1}{-\alpha-j\omega}e^{(-\alpha-j\omega)t}\bigg|_0^{+\infty}-\frac{1}{\alpha-j\omega}e^{(\alpha-j\omega)t}\bigg|_{-\infty}^0

=(0−1−α−jω)−(1α−jω−0)=\left(0-\frac{1}{-\alpha-j\omega}\right)-\left(\frac{1}{\alpha-j\omega}-0\right)

=1α+jω−1α−jω=−2jωα2+ω2=\frac{1}{\alpha+j\omega}-\frac{1}{\alpha-j\omega}=\frac{-2j\omega}{\alpha^2+\omega^2}

令α→0\alpha\to0，得

F(ω)=lim⁡α→0Fα(ω)=−2jωω2=2jωF(\omega)=\lim_{\alpha\to0}F_\alpha(\omega)=\frac{-2j\omega}{\omega^2}=\frac{2}{j\omega}

于是，我们得到了符号函数的FT

类似地，我们可以计算u(t)u(t)的FT：

u(t)=1+sgn(t)2u(t)=\frac{1+{\rm sgn}(t)}{2}

于是

U(ω)=1jω+πδ(ω)U(\omega)=\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)

用例：FT的积分性质的证明

首先考虑FT的时域积分，即

g(t)=∫−∞tf(τ)dτg(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau){\rm d}\tau

考虑到

lim⁡t→+∞g(t)=F(0)\lim_{t\to +\infty}g(t)=F(0)

lim⁡t→−∞g(t)=0\lim_{t\to-\infty}g(t)=0

因此令

h(t)=g(t)−F(0)u(t)h(t)=g(t)-F(0)u(t)

则

lim⁡t→−∞h(t)=lim⁡t→+∞h(t)=0\lim_{t\to-\infty}h(t)=\lim_{t\to+\infty}h(t)=0

先计算h(t)h(t)的FT：

H(ω)=∫−∞+∞h(t)e−jωtdtH(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-j\omega t}{\rm d}t

=−1jω(h(t)e−jωt)∣−∞+∞+1jω∫−∞+∞e−jωtdh(t)=-\frac{1}{j\omega}(h(t)e^{-j\omega t})\big|_{-\infty}^{+\infty}+\frac{1}{j\omega}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j\omega t}{\rm d}h(t)

等式右边第一项为00，而由于（下式的第二项产生于u(t)u(t)值的突变）

ddth(t)=f(t)−F(0)δ(t)\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}h(t)=f(t)-F(0)\delta(t)

于是

H(ω)=1jω∫−∞+∞(f(t)−F(0)δ(t))e−jωtdt=1jωF(ω)−F(0)jωH(\omega)=\frac{1}{j\omega}\int_{-\infty}^{+\infty}(f(t)-F(0)\delta(t))e^{-j\omega t}{\rm d}t=\frac{1}{j\omega}F(\omega)-\frac{F(0)}{j\omega}

而

F[F(0)u(t)]=F(0)jω+πF(0)δ(ω)\mathscr{F}[F(0)u(t)]=\frac{F(0)}{j\omega}+\pi F(0)\delta(\omega)

于是

G(ω)=1jωF(ω)+πF(0)δ(ω)G(\omega)=\frac{1}{j\omega}F(\omega)+\pi F(0)\delta(\omega)

这证明了FT的时域积分性质