Z变换 (ZT) 是一种把系统的差分方程转化为代数方程的数学工具，可以简化求解

Z变换

从FT到ZT

回顾DTFT的公式：

X(\omega)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-jn\omega}

这实际上是以下的从序列到复变函数的变换

X(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}

在单位圆 $z=e^{j\omega}$ 上的限制

上面推广的DTFT就是ZT

Z变换基本定义

单边Z变换

X(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}x(n)z^{-n}

双边Z变换

X(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}

ZT的结果中 $z$ 的取值范围是整个复平面 $\mathbb{C}$ ，被称为Z域

Z变换的收敛域

ZT的表达式为一个幂级数，它不对所有序列都收敛，对某个序列而言，也不一定对所有 $z$ 值都收敛

对确定的序列而言，使 $X(z)$ 收敛的 $z$ 的取值范围称为 $X(z)$ 的收敛域，简记为ROC

收敛域有以下结论：

一般形式是以原点为中心的圆环
收敛域不包含极点，并且常以极点作为收敛域的边界
在收敛域内，ZT及其导数是 $z$ 的连续函数，即ZT在收敛域内解析

收敛域的求解

回忆幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ 的收敛半径的求法：

比值法

如果

\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho\in[0,+\infty]

则

R=\frac{1}{\rho}\in[0,+\infty]

根值法

与比值法逻辑相同，但要求

\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho

下面我们考虑序列ZT的ROC，首先考虑有限长序列

X(z)=\sum\limits_{n=n_1}^{n_2}x(n)z^{-n}

其ROC至少是 $0<|z|<+\infty$

若 $n$ 取值全部非负，则ROC为 $0<|z|\leq +\infty$

若 $n$ 取值全部非正，则ROC为 $0\leq |z|<+\infty$

右边序列

X(z)=\sum\limits_{n=n_1}^{+\infty}x(n)z^{-n}

若根值存在，则

\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|x(n)|}=R_{x1}<|z|<+\infty

特别地， $n_1$ 非负时可以取到 $+\infty$ ；此时 $R_{x1}$ 是模最大的有限极点的模

左边序列

X(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{n_2}x(n)z^{-n}

若根植存在，则

\lim\limits_{n\to-\infty}\frac{1}{\sqrt[-n]{|x(n)|}}=R_{x2}>|z|>0

特别地， $n_1$ 非正时可以取到 $0$ ；此时 $R_{x2}$ 是模最小的非零极点的模

双边序列

将双边序列看成左边序列和右边序列的组合，若 $R_{x1}$ 和 $R_{x2}$ 同时存在且 $R_{x2}>R_{x1}$ ，则ROC为

R_{x1}<|z|<R_{x2}

此时 $R_{x1}$ 和 $R_{x2}$ 是模接近的两个极点的模

注记

上述求法求得的ROC是收敛的充分而不必要条件，即实际收敛域可能更大
实际离散信号通常都是因果序列，即没有负编号项，因此收敛域是某个圆外面的区域

常见序列的ZT

单位冲激序列

\delta(n)=\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq0\end{cases}

\mathscr{Z}[\delta(n)]=\delta(0)=1

单位阶跃序列

u(n)=\begin{cases}1,&n\geq0\\0,&n<0\end{cases}

\mathscr{Z}[u(n)]=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}z^{-n}=\frac{1}{1-z^{-1}}

其ROC为 $|z|>1$

矩形脉冲序列

G_N(n)=\begin{cases}1,&0\leq n<N\\0,&n\geq N\end{cases}

\mathscr{Z}[G_N(n)]=\sum\limits_{n=0}^{N-1}z^{-n}=\frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}}

其ROC为 $0<|z|\leq+\infty$

单位指数序列

\mathscr{Z}[a^nu(n)]=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a^nz^{-n}=\frac{1}{1-az^{-1}}

ROC为 $|z|>|a|$

\mathscr{Z}[-a^nu(-n-1)]=\sum\limits_{n=-\infty}^{-1}(-a^nz^{-n})=\begin{cases}\frac{1}{1-az^{-1}}&0<|z|<|a|\\0&z=0\end{cases}

ZT的性质

线性： $\mathscr{Z}[\lambda x(n)+\mu y(n)]=\lambda X(z)+\mu Y(z)$
时移： $\mathscr{Z}[x(n-m)]=z^{-m}X(z)$
时域扩展：
- $x_{(a)}(n)=\begin{cases}x(n/a),&n/a\in\Z\\0,&\rm else\end{cases}$
- $\mathscr{Z}[x_{(a)}(n)]=X(z^a)$
奇偶性：
- 对偶对称序列， $X(z)=X(1/z)$
- 对奇对称序列， $X(z)=-X(1/z)$
Z域尺度变换： $\mathscr{Z}[a^nx(n)]=X(z/a),\ R_{x1}<|z/a|<R_{x2}$
Z域微分： $\mathscr{Z}[nx(n)]=-z\frac{\rm d}{\mathrm{d}z}X(z)$ ，ROC不变
初值定理： $x(0)=\lim\limits_{z\to\infty}X(z)$
终值定理： $\lim\limits_{n\to+\infty}x(n)=\lim\limits_{z\to1}(z-1)X(z)$
时域卷积定理： $\mathscr{Z}[x(n)*y(n)]=X(z)Y(z)$
Parseval： $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)y^*(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_CX(z)Y^*(\frac{1}{z^*})z^{-1}{\rm d}z$

逆Z变换的求解

下面考虑对有理分式形式的 $X(z)$ 的逆ZT的求解

情形1

对分母进行因式分解，后进行简单分式分解

X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\frac{N(z)}{(1-p_1/z)(1-p_2/z)\cdots(1-p_M/z)}

=\frac{A_1}{1-p_1/z}+\cdots+\frac{A_M}{1-p_M/z}

右侧每一项是一个单位指数序列的ZT，因此可以完成IZT求解

其中

A_i=[(1-p_iz^{-1})X(z)]_{z=p_i}={\rm Res}[X(z),p_i]

情形2

X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\frac{N(z)}{(1-p_1/z)(1-p_2/z)\cdots(1-p_M/z)}

=A_0+\frac{A_1}{1-p_1/z}+\cdots+\frac{A_M}{1-p_M/z}

情形3

$X(z)=N(z)/D(z)$ 是假分式，则考虑

W(z)=\frac{1}{D(z)}

X(z)=N(z)W(z)

其中整式 $N(z)$ 的IZT是显然的， $W(z)$ 的IZT可以通过之前的情形求出，则最终的IZT是二者的卷积

传递函数

$h(n)$ 的ZT $H(z)$ 称为系统的传递函数

H(z)=\mathscr{Z}[h(n)]=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}h(n)z^{-n}

Y(z)=X(z)H(z)

串联等效传递函数 $H(z)=H_1(z)H_2(z)$

并联等效传递函数 $H(z)=H_1(z)+H_2(z)$

传递函数与差分方程的关系类似于频率响应与差分方程的关系：

\sum\limits_{k=0}^{N}b_ky(n-k)=\sum\limits_{r=0}^{M}a_rx(n-r)

两边同时求ZT

Y(z)\sum\limits_{k=0}^{N}b_kz^{-k}=X(z)\sum\limits_{r=0}^{M}a_rz^{-r}

H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum\limits_{r=0}^{M}a_rz^{-r}}{\sum\limits_{k=0}^{N}b_kz^{-k}}

传递函数与系统稳定性和因果性

离散LTI系统是因果系统的充要条件是传递函数ROC形如 $a<|z|\leq +\infty$

离散LTI系统是稳定系统的充要条件是传递函数ROC包括单位圆