DFT和IDFT在实际应用中更可计算，因此FT计算数值解可以采取通过DFT作为跳板计算的方法

理论基础回顾

设连续时间信号 $f(t)$ 的FT为 $F(\omega)$
对 $f(t)$ 时域采样，得到数字域信号 $f(n)$
于是，频域发生周期重复，采样信号 $f(t)\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_s)$ 的FT变为 $((F(\omega)/T_s))_{\omega_s}$ ， $(\cdot)_{T}$ 表示以 $T$ 周期重复
数字域信号 $f(n)$ 的DTFT $X(\omega)$ 和 $((F(\omega)/T_s))_{\omega_s}$ 值相等
DFT谱 $X(k)$ 由对 $X(\omega)$ 采样得到

讨论1：用DFT计算非周期信号的FT

设 $f(t)$ 按 $T_s$ 采样后的DFT为 $X(k)$ ，求其FT函数 $F(\omega)$ 的图像

根据上面的结论， $X(k)$ 是DTFT谱 $X(\omega)$ 的采样，因此

X(k)=X(\omega_k)

而

X(\omega)=((F(\omega)/T_s))_{\omega_s}

于是

F(\omega_k)=T_sX(k)

这里默认了周期重复不会对频谱值产生影响，即截止频率的存在

于是，只需要对 $T_sX(k)$ 连线，即得到 $F(\omega)$ 的近似图像

已知 $F(\omega)$ 按采样频率 $\omega_s$ 采样得到的IDFT（注：在计算IDFT时取的序列为 $F(\omega_k)$ ，其中 $\omega_k=k\omega_s/N,\ k=0,1,\cdots,N-1$ ），求 $f(t)$ 的近似图像

{\rm IDFT}[F(\omega_k)]={\rm IDTFT}[((F(\omega)))_{\omega_s}]=T_s\cdot{\rm IDTFT}[((F(\omega)/T_s))_{\omega_s}]=T_sf(n)

注上面三个等号的逻辑分别为：

$F(\omega_k)$ 就是对 $F(\omega)$ 以 $\omega_s$ 周期回绕后进行采样得到的，而因为DFT就是对DTFT进一步采样，因此由采样计算IDFT得到的信号和由原频谱计算IDTFT得到的信号不应该有所区别（事实上，由于二者都是从一个 $L$ 长度的序列计算得到，因此虽然DTFT谱是连续的，但DTFT谱并不比DFT谱多出信息，只要DFT谱的长度 $N\geq L$ ）
IDTFT是线性变换
根据 ${\rm DTFT}[f(n)]=((F(\omega)/T_s))_{\omega_s}$

这说明

f(n)=\frac{1}{T_s}{\rm IDFT}[F(\omega_k)]

即，仍然可以将IDFT看成是IFT的描点画图

讨论讨论1和讨论2的两个公式有一个简单的记法

考虑到两个公式分别是用DFT表示FT和用IDFT表示IFT，而四者的量纲关系如下：

量纲	连续	离散
信号	IFT： $\rm Q/s$	IDFT： $\rm Q$
频谱	FT： $\rm Q/Hz=Q\cdot s$	DFT： $\rm Q$

这里 $\rm Q$ 是一个表示强度的任意单位

根据上面的量纲分析很容易得出

{\rm FT}=T_s{\rm DFT}

{\rm IFT}=\frac{1}{T_s}{\rm IDFT}

假设对周期信号进行频率为 $N\omega_1$ 的采样，即一个周期内有 $N$ 个抽样值，求 $N$ 点DFT和原周期信号FS谱的关系

要求：周期信号满足采样定理，即 $N\omega_1$ 要大于其频谱中的最大频率，即频谱只能出现在 $0,\ \pm\omega_1,\ \cdots,\ \pm(N-1)\omega_1$ 位置

设周期信号FS系数为 $F_k$

将周期信号取出一个周期，求其FT，设为 $F_0(\omega)$ ，则根据非周期信号FT与周期信号FS的关系可知

F_k=\frac{1}{T_1}F_0(k\omega_1)

而由于

F_0(k\omega_1)=T_sX(k)

于是

F_k=\frac{T_s}{T_1}X(k)=\frac{1}{N}X(k)