信号处理(1) Fourier级数与Fourier变换

Four, Foury, Fourier :D

理论前提：正交分解

回顾函数在一个给定区间$[t_1, t_2]$上内积的定义：

$(f(t),g(t))=\int_{t_1}^{t_2}f(t)g^{*}(t)dt$

这实际上是复向量内积：

$(\mathbf{v},\mathbf{w})=\sum\limits_{i=1}^{n}v_iw_i^*$

的连续版本，注意这里共轭存在的意义在于使内积正定

回顾：对于线性空间$\mathcal{V}$，其上的内积是一个映射$f:\ \mathcal{V}\times\mathcal{V}\rightarrow\mathbb{R}$，满足严格正定、对第一变量线性、共轭对称

设存在一组完备正交基函数$\phi_i(t)$，也即，它：

1. 是正交的，即对任意的$i,j$，有

$(\phi_i(t),\phi_j(t))=0$

2. 是完备的，即该基函数集无法进一步扩充

则，任何函数可以在积分意义下唯一地表示成这一组基函数的组合，由基函数的正交性，可以通过内积的方式求出其组合系数：

回顾：在向量运算中，$v_i = (\mathbf{v},\mathbf{e}_i)$，即可以用与基向量内积的方式求出坐标分量

$c_i = \frac{(f(t),\phi_i(t))}{\phi_i(t),\phi_i(t)}$

信号变换基本定义

信号的级数展开：将信号$f(t)$表达为

$f(t)=\sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty}c_i\phi_i(t)$

的形式

求得展开系数$c_i$的公式称为信号变换

其中，如果基函数$\phi_i(t)$是标准完备正交基，则积分变换

$c_i = \int_{t_1}^{t_2}f(t)\phi_i^*(t)dt$

称为信号$f(t)$的正交变换或Karhunen-Loeve变换

注 上述公式中的共轭来源于内积运算

周期信号的傅里叶级数（Fourier Series, FS）

三角形式的FS

$f(t)=a_0+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega_1t + b_n\sin n\omega_1t)$

分别用$T_1,\ \omega_1$表示信号的周期和频率，则系数（可根据上面的理论自行计算）为

$a_0 = \frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)dt$
$a_n = \frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\cos n\omega_1tdt$
$b_n = \frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\sin n\omega_1tdt$

注意：积分项前的系数来自于三角函数集并不是标准的基函数集，这对复指数形式同理

复指数形式的FS

$f(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}F_ne^{jn\omega_1t}$
$F_n = \frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)e^{-jn\omega_1t}dt$

注意：系数求解过程中指数上的负号来自于内积运算中的共轭

非周期信号的傅里叶变换（Fourier Transformation, FT）

从FS到FT

从周期信号到非周期信号，可以看成是经历了极限过程$T_1\to +\infty$，$\omega_1\to 0$，即，频谱的谱线分布由离散变为连续，故原来的离散系数$F_n$，变为频域上的连续函数$F(\omega)$

所谓Fourier“变换”，即是从一个信号的一个函数形式$f(t)$，到另一个函数形式$F(\omega)$的变换，在此过程中，函数的形式发生了改变，但信号本身不变

FT

定义非周期信号的FT：

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$

IFT

逆Fourier变换IFT如下：

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

注意：因为某些原因，IFT比FT多出系数$\frac{1}{2\pi}$，且其积分核不是共轭函数（这是由FS的展开公式沿袭来的）

FS和FT的关系

设有一个非周期信号$f(t)$和此信号经周期为$T_1$的周期延拓得到的周期信号$\tilde{f}(t)$，则后者的FS系数和前者的FT有如下关系：

$F_n=\frac{F(n\omega_1)}{T_1}$

上面的公式很容易证明，因为求解FS系数所需的$\tilde{f}(t)$在一个周期上的积分正是求解FT所需的$f(t)$在全域上的积分

上面公式可以通过一个简单的方式记忆：$F_n$是一系列基函数的系数，量纲是强度量纲，设为$\rm Q$；而$F(n\omega_1)$是非周期信号的频谱密度值，量纲是强度的频谱密度，即$\rm Q/Hz=Q\cdot s$，因此$T_1$需要乘在$F_n$一侧

周期信号的FT

用$\mathcal{F}[\cdot]$表示FT，则有如下关系：

$\mathcal{F}[e^{j\omega_0t}]=2\pi\delta(\omega-\omega_0)$

这很容易从IFT的角度证明

于是利用正余弦信号的复指数分解和FT的线性，很容易得到正余弦信号的FT

FT的性质

以下特性全部可以简单证明

• 线性：$\mathcal{F}[\lambda f+\mu g]=\lambda\mathcal{F}[f]+\mu\mathcal{F}[g]$
• 反褶和共轭：$\mathcal{F}[f(-t)]=F(-\omega)$，$\mathcal{F}[f^*(t)]=F^*(-\omega)$
• FT和IFT的对偶性：$\mathcal{F}[F(t)]=2\pi f(-\omega)$
• 压扩：$\mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$
  • 注意FT后分母的绝对值，它产生于积分换元时如果a是负数会发生上下限的翻转
• 等效脉宽、等效带宽：$\tau=F(0)/f(0),\ B_f=f(0)/F(0)$
  • 其思想为：F(0)为f的面积，将f(0)视为高，求得等效脉宽，等效带宽同理
• 时移特性：$\mathcal{F}[f(t-t_0)]=e^{-j\omega t_0}F(\omega)$
  • 即：时域延时，频域只改变相位；符合我们的认知
• 频移特性：$\mathcal{F}^{-1}[F(\omega - \omega_0)]=e^{j\omega_0t}f(t)$
  • 即：频谱右移，相当于整体乘上一个右移频率值的项
• 微分特性：$\mathcal{F}[\frac{d}{dt}f(t)]=j\omega F(\omega)$，$\mathcal{F}^{-1}[\frac{d}{d\omega}F(\omega)]=-jtf(t)$
  • 证明方式为分部积分法，忽略乘积项
• 积分特性：$\mathcal{F}[\int_{-\infty}^tf(\tau)d\tau]=\frac{1}{j\omega}F(\omega)+\pi F(0)\delta(\omega)$，$\mathcal{F}^{-1}[\int_{-\infty}^\omega F(\lambda)d\lambda]=\frac{1}{-jt}f(t)+\pi f(0)\delta(t)$
  • 两个公式中第一项可以通过分部积分得到，第二项作为乘积项无法直接计算，但形式上简单，可以记忆
• 时域卷积定理：$\mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]$
  • 证明可以通过交换积分次序完成
• 频域卷积定理：$\mathcal{F}^{-1}[F*G]=2\pi\mathcal{F}^{-1}[F]\cdot\mathcal{F}^{-1}[G]$
  • 注意系数出现的位置：对IFT产生的系数进行补偿
• 时域相关性定理：$\mathcal{F}[R_{fg}(t)]=\mathcal{F}[f]\mathcal{F}^*[g]$
  • 特别地，对自相关函数有$\mathcal{F}[R_{ff}(t)]=\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}^*[f]=|\mathcal{F}[f]|^2$